中学数学 図形の合同の証明と面積

条件
四角形ABCDは平行四辺形。
直線DEとHGは平行。
AD=EH。

問題①
△BEH≡△HCBを証明せよ

問題②
△EFB≡△HGCを証明せよ

問題③
△BEJの面積=△BJHの面積=6cm2 のとき、ABCDの面積を求めよ

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解答①

①辺HB=辺HB(共通の辺)
②辺AD=辺EH=辺BC(初期条件とAD平行BCより)
③∠HBE=∠BHC=90度(AEとDCが平行より)

①②③より、直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」を満たす。
よって、△BEH≡△HCB。

解答②

①辺BE=辺HC(解答① △BEH≡△HCB より)
②∠■ = ∠■ (辺BE 平行 辺HC より)
③∠● = ∠● (辺BE 平行 辺HC、辺DE 平行 辺HGより)
①②③より、△EFBと△HGCは、1辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
よって△EFB≡△HGC。

解答③

初期条件
色のついた部分の面積は6cm

△BEJ≡△CJHなので、△CJHの面積も6cm

△BEJ≡△CJHなので、辺EJ=辺HJ。
すると、赤と青の面積は高さと底辺が等しいから、△BJHの面積も6cm2
赤+青の面積=6+6=12cm

水色の三角形は面積が6なので、黄色は12-6=6
三角形の面積が等しいので辺BI=辺HI

色のついた部分は合同(1辺とその両端の角がそれぞれ等しい)

辺BE=辺DH(△BEI≡△DHI)
辺BE=辺HC(△BEJ≡△CHJ)
よって辺DH=辺CH

△BCHの面積は12
△BDCの面積は12×2=24
平行四辺形ABCDの面積は△BDC×2=24×2=48

平行四辺形ABCDの面積=48cm2

算数・数学
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